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계산 공식
aₙ = a₁ × r^(n-1) | Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r)r은 공비(이웃한 항의 비), n은 항 번호입니다. r=1이면 Sₙ=n×a₁을 사용합니다.
등비수열 핵심 공식 요약
| 항목 | 공식 | 조건 | |
|---|---|---|---|
| 일반항 (제n항) | aₙ = a₁ × r^(n−1) | r ≠ 0 | |
| 합 Sₙ (r ≠ 1) | a₁ × (1 − rⁿ) / (1 − r) | r ≠ 1 | |
| 합 Sₙ (r = 1) | n × a₁ | r = 1 | |
| 무한등비급수 S∞ | a₁ / (1 − r) | r | < 1일 때만 수렴 |
| 공비 구하기 | r = aₙ₊₁ / aₙ | 이웃한 두 항의 비 |
계산 예시
예시 1: 2, 6, 18, 54, ...
- a₁ = 2, r = 3, n = 5
- a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162
- S₅ = 2 × (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 × 242 / 2 = 242
예시 2: 100, 50, 25, 12.5, ...
- a₁ = 100, r = 0.5, n = 6
- a₆ = 100 × 0.5⁵ = 100 × 0.03125 = 3.125
- S₆ = 100 × (1 − 0.5⁶) / (1 − 0.5) = 100 × 0.984375 / 0.5 = 196.875
공비에 따른 수열 특성
| 공비 r | 수열 특성 | 예시 |
|---|---|---|
| r > 1 | 무한 증가 | 1, 2, 4, 8, 16, ... |
| 0 < r < 1 | 0에 수렴 | 1, 0.5, 0.25, 0.125, ... |
| r = 1 | 상수수열 | 5, 5, 5, 5, ... |
| −1 < r < 0 | 진동하며 수렴 | 1, −0.5, 0.25, −0.125, ... |
| r < −1 | 진동하며 발산 | 1, −3, 9, −27, ... |
| r = −1 | 진동 (수렴 안 함) | 2, −2, 2, −2, ... |
복리 계산에서의 등비수열
복리는 등비수열의 가장 대표적인 실생활 예입니다.
연 5% 복리, 원금 1,000만원
- 공비 r = 1.05
- 1년 후: 1,000 × 1.05 = 1,050만원
- 5년 후: 1,000 × 1.05⁵ = 1,276.3만원
- 10년 후: 1,000 × 1.05¹⁰ = 1,628.9만원
- 20년 후: 1,000 × 1.05²⁰ = 2,653.3만원 (원금의 2.65배)
무한등비급수 S∞ (수렴 조건: |r| < 1)
S∞ = a₁ / (1 − r)
예: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (a₁=1, r=1/2) S∞ = 1 / (1 − 0.5) = 2
예: 0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... (a₁=0.9, r=0.1) S∞ = 0.9 / (1 − 0.1) = 0.9/0.9 = 1 → 0.999...=1 증명
실생활 응용
| 상황 | 등비수열 해석 |
|---|---|
| 연 r% 복리 n년 원리합계 | aₙ = a₁ × (1+r/100)ⁿ |
| 세균이 30분마다 2배 증식 | 6시간 후: 1 × 2¹² = 4,096배 |
| 방사성 물질 반감기 | 반감기 t마다 절반 감소, r=0.5 |
| 주가 매년 10% 하락 | 5년 후 잔존 가치: (0.9)⁵ ≈ 59% |
자주 묻는 질문
등비수열과 복리 계산의 관계는?
복리는 등비수열의 대표적인 실생활 예입니다. 원금 100만원에 연 5% 복리라면 a₁=100만원, r=1.05로 매년 100만, 105만, 110.25만... 식으로 증가합니다. n년 후 금액은 aₙ = 100 × 1.05^(n-1)입니다.
무한등비급수란 무엇인가요?
|r| < 1이면 항이 0에 수렴하므로 무한히 더해도 유한한 값이 됩니다. S∞ = a₁ / (1-r). 예: 첫째항 1, 공비 1/2이면 S∞ = 1 / (1-0.5) = 2입니다.
공비가 분수(예: 1/2)이면 어떻게 입력하나요?
소수로 입력하세요. 공비 1/2은 0.5, 2/3은 약 0.667로 입력합니다.
등비수열에서 공비는 0이 될 수 있나요?
공비가 0이면 두 번째 항부터 모두 0이 됩니다. 수학적으로는 가능하지만 의미 있는 수열이 아니므로, 이 계산기는 0이 아닌 공비를 권장합니다.