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계산 공식
nCr = n! / (r!(n-r)!) | nPr = n! / (n-r)!팩토리얼(!)을 이용해 경우의 수를 계산합니다. nCr은 순서를 무시하고, nPr은 순서를 고려합니다.
조합(Combination)과 순열(Permutation) 핵심 공식
| 구분 | 공식 | 의미 |
|---|---|---|
| 조합 nCr | n! / (r! × (n−r)!) | 순서 무관, r개 선택 |
| 순열 nPr | n! / (n−r)! | 순서 있게 r개 나열 |
| 관계식 | nCr = nPr / r! | 순열에서 순서 제거 |
조합 vs 순열: 언제 어느 것을 쓸까?
| 상황 | 적용 | 이유 |
|---|---|---|
| 로또 번호 6개 선택 | 조합 | {1,2,3,4,5,6} = {6,5,4,3,2,1} |
| 금·은·동 메달 수여 | 순열 | 1등≠2등≠3등, 순서 중요 |
| 위원회 3명 구성 | 조합 | 구성원만 중요, 순서 무관 |
| 4자리 비밀번호 설정 | 순열 | 1234 ≠ 4321 |
| 책 5권 중 3권 선물 | 조합 | 어떤 3권인지만 중요 |
자주 쓰이는 조합 값
| nCr | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| C(4,2) | 4! / (2! × 2!) | 6 |
| C(6,3) | 6! / (3! × 3!) | 20 |
| C(10,3) | 10! / (3! × 7!) | 120 |
| C(13,5) | 포커 핸드 수 | 1,287 |
| C(45,6) | 로또 경우의 수 | 8,145,060 |
실생활 계산 예시
로또 1등 확률
45개 숫자 중 6개를 순서 없이 선택하는 경우의 수: C(45,6) = 8,145,060가지 → 약 814만분의 1로또 1장에 6개 번호를 고르는 행위가 정확히 이 조합입니다.
포커 5장 패 종류
52장 카드에서 5장 뽑는 경우의 수: C(52,5) = 2,598,960가지로열 플러시(최고의 패)는 4가지뿐 → 확률: 4/2,598,960 ≈ 0.000154%
팀 구성 문제
10명 중 4명으로 팀을 구성하는 방법: C(10,4) = 210가지 팀장·부팀장·총무·회계를 선출한다면: P(10,4) = 5,040가지팩토리얼(!) 기본값
| n | n! |
|---|---|
| 0! | 1 (정의) |
| 1! | 1 |
| 3! | 6 |
| 5! | 120 |
| 10! | 3,628,800 |
자주 묻는 질문
조합과 순열의 차이는 무엇인가요?
조합(nCr)은 선택 순서가 무관할 때(ABC = BAC), 순열(nPr)은 순서가 중요할 때(ABC ≠ BAC) 사용합니다. 예: 반에서 대표 1명·부대표 1명을 뽑으면 순열(순서 있음), 모둠 2명을 뽑으면 조합(순서 무관)입니다.
로또 1등 확률은 얼마인가요?
45개 숫자 중 6개를 순서 없이 선택하는 C(45,6) = 8,145,060가지입니다. 즉 약 814만분의 1의 확률입니다. 매주 1장씩 구매하면 평균 약 15만 6천 년을 기다려야 1번 당첨될 확률입니다.
C(n,0)과 C(n,n)은 각각 얼마인가요?
C(n,0) = 1, C(n,n) = 1입니다. 0개를 선택하는 방법(아무것도 선택 안 함)과 전체를 선택하는 방법은 각각 1가지뿐입니다. 0! = 1로 정의되기 때문에 공식 n!/(0!×n!) = 1이 성립합니다.
n이 r보다 작으면 왜 계산이 안 되나요?
10개 중 15개를 선택할 수 없듯, r > n이면 조합과 순열이 정의되지 않습니다. 수학적으로 (n-r)!이 음수 팩토리얼이 되어 불능입니다. 이 계산기는 r > n 입력 시 경고 메시지를 표시합니다.
파스칼의 삼각형과 조합의 관계는?
파스칼의 삼각형의 각 행은 이항계수(이진 조합)와 일치합니다. 5번째 행(0부터 세면): 1, 4, 6, 4, 1 → C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4) = 1, 4, 6, 4, 1. 이항정리 (a+b)ⁿ 전개에서도 이 값들이 계수로 등장합니다.