√
제곱근, 세제곱근 등을 계산합니다
n제곱근을 선택했을 때 n 값 입력
계산 공식
제곱근: √n = n^(1/2) | n제곱근: ⁿ√x = x^(1/n)√4 = 4^0.5 = 2 | √2 ≈ 1.41421356 (무리수)
자주 사용하는 제곱근·세제곱근 값
| n | √n (제곱근) | ∛n (세제곱근) | n² | n³ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.0000 | 1.0000 | 1 | 1 |
| 2 | 1.4142 | 1.2599 | 4 | 8 |
| 3 | 1.7321 | 1.4422 | 9 | 27 |
| 4 | 2.0000 | 1.5874 | 16 | 64 |
| 5 | 2.2361 | 1.7100 | 25 | 125 |
| 8 | 2.8284 | 2.0000 | 64 | 512 |
| 9 | 3.0000 | 2.0801 | 81 | 729 |
| 16 | 4.0000 | 2.5198 | 256 | 4,096 |
| 25 | 5.0000 | 2.9240 | 625 | 15,625 |
| 27 | 5.1962 | 3.0000 | 729 | 19,683 |
| 100 | 10.0000 | 4.6416 | 10,000 | 1,000,000 |
제곱근 관련 공식
| 공식 | 설명 | 예시 |
|---|---|---|
| √(ab) = √a × √b | 곱의 제곱근 | √12 = √4×√3 = 2√3 |
| √(a/b) = √a / √b | 몫의 제곱근 | √(9/4) = 3/2 |
| (√a)² = a | 역연산 | (√5)² = 5 |
| √a × √a = a | √7 × √7 = 7 | |
| ⁿ√x = x^(1/n) | n제곱근 | ⁴√16 = 16^(1/4) = 2 |
제곱수(완전제곱수) 목록
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
완전제곱수의 제곱근은 정수(유리수)이며, 나머지는 모두 무리수입니다.
무리수 vs 유리수 제곱근
- √2 = 1.41421356... → 무리수 (소수가 무한히 비반복)
- √4 = 2 → 유리수 (정수)
- √(1/4) = 0.5 → 유리수 (분수)
- √5 = 2.23606797... → 무리수
제곱근의 실생활 응용
| 분야 | 사용 예 | 공식 |
|---|---|---|
| 피타고라스 정리 | 직각삼각형 빗변 | c = √(a²+b²) |
| 원의 반지름 | 넓이에서 반지름 계산 | r = √(A/π) |
| 표준편차 | 분산의 제곱근 | σ = √(분산) |
| 물리학 | 진자 주기, 자유낙하 시간 | T = 2π√(L/g) |
| 금융 | 변동성(σ) 계산 | σ = √(일별분산 × 252) |
자주 묻는 질문
√2는 왜 무리수인가요?
√2는 어떤 정수의 분수로도 표현할 수 없기 때문에 무리수입니다. 피타고라스 학파가 처음 발견했으며, 소수로 표현하면 1.41421356...으로 끝없이 이어집니다. 수학적 귀류법으로 √2가 유리수라고 가정하면 모순이 생깁니다.
음수의 제곱근은 어떻게 계산하나요?
실수 범위에서는 음수의 제곱근이 정의되지 않습니다. 예를 들어 √(-1)은 실수가 아닙니다. 이를 위해 '허수(imaginary number)'를 사용하며, √(-1) = i로 정의합니다. 이 계산기는 실수 범위 내에서만 계산합니다.
제곱근을 어떻게 손으로 계산하나요?
바빌로니아 방법(뉴턴-랩슨법): √S ≈ (x + S/x)/2를 반복 적용합니다. 예: √2 계산 시 초기값 x=1.5로 시작 → (1.5 + 2/1.5)/2 = 1.4166... → 반복하면 1.41421...에 수렴합니다.
제곱수(완전제곱수)와 제곱근의 관계는?
완전제곱수(1, 4, 9, 16, 25, ...)는 제곱근이 정수인 수입니다. √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5 등. 완전제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 모두 무리수입니다. 두 자리 수까지 완전제곱수: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.