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계산 공식
aₙ = a₁ + (n-1)d | Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)aₙ은 일반항, Sₙ은 첫째항부터 제n항까지의 합, d는 공차(이웃한 항의 차)입니다.
등차수열 핵심 공식 요약
| 항목 | 공식 | 설명 |
|---|---|---|
| 일반항 (제n항) | aₙ = a₁ + (n-1)d | a₁: 첫째 항, d: 공차 |
| 등차수열의 합 | Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) | 첫째 항과 끝 항 이용 |
| 등차수열의 합 (변형) | Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n-1)d) | 끝 항 모를 때 사용 |
| 공차 구하기 | d = (aₙ − a₁) / (n − 1) | 첫째·n번째 항 알 때 |
| 등차중항 | a₂ = (a₁ + a₃) / 2 | 이웃한 세 항의 관계 |
계산 예시
예시 1: 홀수 수열 (1, 3, 5, 7, ...)
- a₁ = 1, d = 2, n = 10
- a₁₀ = 1 + (10-1) × 2 = 19
- S₁₀ = 10/2 × (1 + 19) = 100
예시 2: 1부터 100까지 합 (가우스 계산)
- a₁ = 1, d = 1, n = 100
- S₁₀₀ = 100/2 × (1 + 100) = 50 × 101 = 5,050
예시 3: 감소수열 (20, 15, 10, 5, ...)
- a₁ = 20, d = −5, n = 6
- a₆ = 20 + (6-1) × (−5) = 20 − 25 = −5
- S₆ = 6/2 × (20 + (−5)) = 3 × 15 = 45
공차 d의 영향
| 공차 | 수열 특성 | 예시 |
|---|---|---|
| d > 0 | 증가수열 | 2, 5, 8, 11, ... |
| d < 0 | 감소수열 | 10, 7, 4, 1, ... |
| d = 0 | 상수수열 | 5, 5, 5, 5, ... |
등차수열의 성질
- a₁, a₂, a₃이 등차수열이면 a₂ = (a₁ + a₃) / 2 (등차중항)
- 등차수열의 연속된 항 합: S₂ₙ = n(a₁ + a₂ₙ)
- 연속 세 항을 a−d, a, a+d로 놓으면 합이 3a로 단순화됨
실생활 응용 사례
| 상황 | 등차수열 적용 |
|---|---|
| 월 저축 증액 | 1월 10만원, 매월 2만원 추가 → 12월 저축액 계산 |
| 콘서트 좌석 수 | 1열 20석, 각 열 2석씩 증가 → n열 총 좌석 수 |
| 계단식 연봉 | 2,400만원 시작, 매년 120만원 인상 → 10년 차 연봉 |
| 도로 가로등 | 100m 간격, 첫 번째 위치 50m → n번째 위치 계산 |
자주 묻는 질문
공차가 음수이면 수열이 어떻게 되나요?
공차가 음수이면 항이 점점 작아지는 감소수열이 됩니다. 예: 10, 7, 4, 1, −2, ... (공차 d = −3). 합 공식은 동일하게 적용됩니다. n = 4까지의 합: S₄ = 4/2 × (10 + 1) = 22.
첫째항과 n번째 항만 알 때 공차를 구하는 방법은?
d = (aₙ − a₁) / (n − 1) 공식을 사용합니다. 예: 첫째항 2, 다섯째항 14이면 d = (14 − 2) / (5 − 1) = 12/4 = 3. 수열은 2, 5, 8, 11, 14, ...가 됩니다.
1부터 100까지의 합을 계산하면?
a₁=1, d=1, n=100으로 설정하면 S₁₀₀ = 100/2 × (1 + 100) = 50 × 101 = 5,050입니다. 수학자 가우스가 초등학생 때 이 방법으로 순식간에 계산했다는 일화가 유명합니다.
등차수열과 등비수열의 차이는?
등차수열은 이웃한 항의 차(공차 d)가 일정하고, 등비수열은 이웃한 항의 비(공비 r)가 일정합니다. 예: 등차 2, 4, 6, 8 (+2씩), 등비 2, 4, 8, 16 (×2씩). 등차는 직선적 증가, 등비는 지수적 증가입니다.
등차수열에서 합 공식을 두 가지 형태로 쓰는 이유는?
Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)은 끝 항 aₙ을 알 때 편리하고, Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n−1)d)는 공차와 첫째항만 알 때 사용합니다. 두 공식은 aₙ = a₁ + (n−1)d를 대입하면 동일한 결과를 줍니다.
연속된 n개의 홀수 합은 얼마인가요?
첫 번째 홀수부터 n번째 홀수까지의 합은 정확히 n²입니다. 예: 1+3+5 = 3² = 9, 1+3+5+7 = 4² = 16. 이는 a₁=1, d=2인 등차수열의 합 공식으로 확인할 수 있습니다: Sₙ = n/2 × (2 + (n−1)×2) = n².