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원하는 결과가 나오는 경우의 수
모든 가능한 결과의 수
동전/주사위 반복 횟수
앞면/특정 눈이 나와야 하는 횟수
계산 공식
P(A) = n(A) / n(S) — 사건 A의 원소 수 / 표본공간의 원소 수유리한 결과의 수를 전체 가능한 결과의 수로 나누어 확률을 구합니다.
확률 계산 기본 공식
확률(P) = 유리한 사건 수 ÷ 전체 경우의 수
확률의 값은 항상 0 이상 1 이하입니다. 0이면 절대 발생 안 함, 1이면 반드시 발생합니다.
주요 확률 공식
기본 확률
P(A) = n(A) / n(S) — 사건 A의 원소 수 ÷ 표본공간 전체 원소 수
| 상황 | 유리한 경우 | 전체 | 확률 |
|---|---|---|---|
| 주사위 1 나오기 | 1 | 6 | 1/6 ≈ 16.7% |
| 동전 앞면 | 1 | 2 | 1/2 = 50% |
| 카드 하트 무늬 | 13 | 52 | 1/4 = 25% |
| 로또 1등 (6/45) | 1 | 8,145,060 | 약 0.0000123% |
이항분포 (반복 시행)
n번 시행에서 정확히 k번 성공할 확률:
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
| 예시 | 계산 | 결과 |
|---|---|---|
| 동전 5번 중 3번 앞면 | C(5,3)×(0.5)³×(0.5)² | 10×0.125×0.25 = 31.25% |
| 주사위 4번 중 1이 2번 | C(4,2)×(1/6)²×(5/6)² | 6×0.0278×0.694 = 11.57% |
| 자유투 성공률 70%, 5번 중 4번 성공 | C(5,4)×0.7⁴×0.3¹ | 5×0.2401×0.3 = 36.02% |
확률의 기본 법칙
| 법칙 | 공식 | 설명 |
|---|---|---|
| 여사건 | P(A') = 1 - P(A) | A가 일어나지 않을 확률 |
| 덧셈 (배반) | P(A∪B) = P(A) + P(B) | A와 B가 동시에 일어날 수 없을 때 |
| 덧셈 (일반) | P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) | A와 B가 동시에 일어날 수 있을 때 |
| 독립 곱셈 | P(A∩B) = P(A) × P(B) | A와 B가 서로 독립일 때 |
확률 해석 기준
| 확률 | 백분율 | 실생활 기준 |
|---|---|---|
| 0.99 | 99% | 거의 확실 |
| 0.9 | 90% | 매우 높음 |
| 0.5 | 50% | 반반 (동전 앞면) |
| 0.1 | 10% | 낮음 |
| 0.01 | 1% | 매우 낮음 |
| 0.000123 | 0.0123% | 로또 1등 수준 |
자주 묻는 질문
동전을 5번 던져 앞면이 3번 이상 나올 확률은?
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5). P(X=3) = C(5,3)×(0.5)⁵ = 10/32 = 31.25%, P(X=4) = 5/32 = 15.625%, P(X=5) = 1/32 = 3.125%. 합계 = 16/32 = **50%**. 대칭성 덕분에 '3번 이상'과 '2번 이하'의 확률이 정확히 동일합니다.
주사위를 2번 던져 합이 7이 될 확률은?
합이 7이 되는 조합: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6가지. 전체 경우의 수: 6×6 = 36. 확률 = 6/36 = **1/6 ≈ 16.67%**. 주사위 두 개 합에서 7이 가장 확률이 높습니다.
여사건 확률이란 무엇인가요?
여사건(complementary event)은 사건 A가 일어나지 않는 경우입니다. P(A') = 1 - P(A). '적어도 1번' 문제에서 유용합니다. 예: 동전을 3번 던져 적어도 1번 앞면 = 1 - P(모두 뒷면) = 1 - (1/2)³ = 1 - 1/8 = **7/8 = 87.5%**.
독립 사건과 배반 사건의 차이는?
독립 사건: 두 사건이 서로 영향을 주지 않는 경우. P(A∩B) = P(A)×P(B). 예: 동전 던지기 2번. 배반 사건: 두 사건이 동시에 일어날 수 없는 경우. P(A∩B) = 0. 예: 주사위에서 '1이 나옴'과 '6이 나옴'. 독립과 배반은 완전히 다른 개념입니다.