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계산 공식
s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)] | σ = √[Σ(xi - μ)² / n]각 값에서 평균을 뺀 후 제곱하여 합산하고, n-1(표본) 또는 n(모)으로 나눈 뒤 제곱근을 취합니다.
표준편차 계산 공식과 비교
| 구분 | 기호 | 공식 | 분모 | 사용 상황 |
|---|---|---|---|---|
| 표본 표준편차 | s | √[Σ(xi-x̄)²/(n-1)] | n-1 | 전체 중 일부 표본 |
| 모 표준편차 | σ | √[Σ(xi-μ)²/n] | n | 전체 모집단 보유 시 |
단계별 계산 예시: {10, 20, 30, 40, 50}
1. 평균(x̄): (10+20+30+40+50) / 5 = 30 2. 편차: -20, -10, 0, +10, +20 3. 편차 제곱: 400, 100, 0, 100, 400 4. 편차 제곱합: 400+100+0+100+400 = 1,000 5. 분산(표본): 1,000 / (5-1) = 250 6. 표준편차: √250 = 15.811
표준편차로 데이터 해석 — 정규분포 규칙
정규분포(종형 곡선)에서:
| 범위 | 포함 비율 |
|---|---|
| 평균 ± 1σ | 약 68.3% |
| 평균 ± 2σ | 약 95.4% |
| 평균 ± 3σ | 약 99.7% |
- 85~115점 사이 → 전체의 68.3%
- 70~130점 사이 → 전체의 95.4%
표준편차 크기에 따른 데이터 해석
| 표준편차 | 의미 | 예시 |
|---|---|---|
| 작음 | 데이터가 평균 근처에 집중 | 제품 규격 일정, 정밀 측정 |
| 큼 | 데이터가 넓게 퍼짐 | 소득 불평등, 변동성 큰 주가 |
| σ = 0 | 모든 값이 동일 | {5, 5, 5, 5, 5} |
분산(Variance)과 표준편차 관계
- 분산(s²) = 표준편차의 제곱 → 단위가 원래 데이터의 제곱
- 표준편차(s) = √분산 → 원래 데이터와 같은 단위
변동계수(CV) — 단위가 다른 데이터 비교
CV = (표준편차 / 평균) × 100%
| 데이터 | 평균 | 표준편차 | CV | 해석 |
|---|---|---|---|---|
| A 제품 무게 | 100g | 5g | 5% | 변동 작음 |
| B 제품 무게 | 1,000g | 30g | 3% | 더 안정적 |
자주 묻는 질문
표준편차가 크면 어떤 의미인가요?
표준편차가 크면 데이터가 평균에서 멀리 퍼져 있어 변동성이 높음을 의미합니다. 예: 시험 성적 {50, 90, 60, 80, 70}의 표준편차는 약 15.8점으로, 학생마다 성적 차이가 크다는 뜻입니다. 반면 {68, 70, 72, 71, 69}의 표준편차는 약 1.4점으로 성적이 매우 고르다는 의미입니다.
표본 표준편차와 모 표준편차 중 어떤 것을 써야 하나요?
전체 모집단의 일부를 분석할 때는 표본 표준편차(분모 n-1, 비셀 보정), 전체 데이터를 모두 가질 때는 모 표준편차(분모 n)를 사용합니다. 현실에서 대부분의 경우(설문, 실험, 시험) 표본 표준편차를 사용합니다. n-1을 쓰는 이유는 표본으로 모집단의 분산을 불편(unbiased) 추정하기 위함입니다.
정규분포에서 표준편차 1σ은 어떤 의미인가요?
정규분포에서 평균 ± 1σ 범위 안에 전체 데이터의 약 68.3%가 포함됩니다. ±2σ는 95.4%, ±3σ는 99.7%입니다. 예: IQ 평균 100, σ=15이면 IQ 85~115 사이에 전체의 68.3%, IQ 70~130 사이에 95.4%가 분포합니다.
엑셀에서 표준편차 함수는 무엇인가요?
표본 표준편차: =STDEV(범위) 또는 =STDEV.S(범위) | 모 표준편차: =STDEVP(범위) 또는 =STDEV.P(범위) | 분산: =VAR.S(범위), =VAR.P(범위). 예: =STDEV(A1:A10)은 A1~A10의 표본 표준편차를 계산합니다.