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계산 공식
nPr = n! / (n-r)!n개 원소에서 r개를 뽑아 순서를 고려한 배열의 수입니다. r이 n보다 클 수 없습니다.
순열(Permutation) 공식과 계산
순열은 서로 다른 n개 중에서 r개를 골라 순서 있게 나열하는 경우의 수입니다.
nPr = n! ÷ (n-r)!
순열 vs 조합 비교
| 구분 | 순열 (nPr) | 조합 (nCr) |
|---|---|---|
| 순서 고려 | 고려함 (AB ≠ BA) | 고려 안 함 (AB = BA) |
| 공식 | n! / (n-r)! | n! / (r! × (n-r)!) |
| 관계 | nPr = nCr × r! | — |
| 예시 | 시상식 금·은·동 | 대표 3명 선발 |
대표 계산 사례
| 상황 | 식 | 결과 | 설명 |
|---|---|---|---|
| 5명 중 1·2·3등 | 5P3 | 60 | 5! ÷ 2! = 120÷2 |
| 6명 줄 세우기 전체 | 6P6 | 720 | 6! = 720 |
| 4자리 숫자 비밀번호 (0~9, 중복 없음) | 10P4 | 5,040 | 10!÷6! |
| 26개 알파벳 중 3글자 이니셜 | 26P3 | 15,600 | 26!÷23! |
| 카드 52장 중 5장 순서대로 | 52P5 | 311,875,200 | 52!÷47! |
팩토리얼(!) 참고표
| n | n! | 비고 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 정의 |
| 1 | 1 | |
| 3 | 6 | |
| 5 | 120 | |
| 7 | 5,040 | |
| 10 | 3,628,800 | |
| 12 | 479,001,600 | |
| 20 | 약 2.4 × 10¹⁸ | 자바스크립트 안전 정수 한계 근접 |
실생활 순열 활용
- 비밀번호: 0~9 숫자 4자리, 중복 없음 → 10P4 = 5,040가지
- 학급 임원 선출: 30명 중 회장·부회장·총무 순서 있게 → 30P3 = 24,360가지
- 스포츠 시상: 100m 달리기 참가 8명 중 1·2·3위 → 8P3 = 336가지
- 번호판: 숫자 3자리 순열 (0~9, 중복 허용) → 10³ = 1,000가지 (중복 허용 순열)
자주 묻는 질문
순열과 조합은 언제 사용하나요?
순서가 중요하면 순열(nPr), 순서가 관계없으면 조합(nCr)을 사용합니다. '금·은·동 시상'처럼 순위가 있으면 순열(10P3=720), '대표 3명 선발'처럼 순위가 없으면 조합(10C3=120)을 씁니다. 순열은 항상 조합보다 r! 배 크게 나옵니다.
nP0, nPn의 값은?
nP0 = 1(0개를 뽑는 방법은 1가지). nPn = n!(n개 전부를 순서대로 나열하는 경우의 수). 예: 5P5 = 5! = 120. 5명을 일렬로 세우는 방법이 120가지라는 뜻입니다.
중복 순열과 일반 순열의 차이는?
일반 순열은 같은 원소를 두 번 쓸 수 없습니다(중복 없음). 중복 순열은 같은 원소 재사용이 가능합니다. 중복 순열 공식: n^r. 예: 0~9 숫자로 4자리 비밀번호 중복 허용 → 10^4 = 10,000가지, 중복 없으면 10P4 = 5,040가지.
20이 넘는 n은 왜 제한이 있나요?
팩토리얼은 폭발적으로 커집니다. 20! ≈ 2.4 × 10¹⁸으로 자바스크립트 Number 안전 정수(2^53-1 ≈ 9 × 10¹⁵) 한계에 근접합니다. 21!부터는 부동소수점 오차가 발생할 수 있어 계산기에서는 20을 상한으로 설정했습니다.
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