📐
일원 일차방정식: ax + b = c에서 b
일원: c. 연립: a₁x + b₁y = c₁
계산 공식
D = a₁b₂ - a₂b₁, x = (c₁b₂ - c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ - a₂c₁)/D크래머 공식으로 연립 일차방정식의 해를 행렬식을 이용해 구합니다.
일차방정식 풀이 공식
일원 일차방정식
ax + b = c 형태에서 x를 구합니다.
x = (c - b) / a (단, a ≠ 0)
| 예시 | 계산 과정 | 결과 |
|---|---|---|
| 2x + 3 = 9 | x = (9-3)/2 | x = 3 |
| 5x - 10 = 0 | x = (0+10)/5 | x = 2 |
| -3x + 6 = 15 | x = (15-6)/(-3) | x = -3 |
| x/4 + 1 = 3 | x = (3-1)×4 | x = 8 |
연립 일차방정식 (2원 1차)
a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂에서 크래머(Cramer) 공식 적용:
행렬식 D = a₁b₂ - a₂b₁
x = (c₁b₂ - c₂b₁) / D y = (a₁c₂ - a₂c₁) / D
풀이 예시
2x + 3y = 8, 3x + 2y = 7일 때:
- D = 2×2 - 3×3 = 4 - 9 = -5
- x = (8×2 - 7×3) / (-5) = (16-21) / (-5) = 1
- y = (2×7 - 3×8) / (-5) = (14-24) / (-5) = 2
- 검산: 2(1)+3(2)=8 ✓, 3(1)+2(2)=7 ✓
해의 종류
| 경우 | 조건 | 의미 | 그래프 |
|---|---|---|---|
| 유일한 해 | D ≠ 0 | 두 직선이 한 점에서 교차 | 교점 1개 |
| 해 없음 (불능) | D = 0, 비율 불일치 | 두 직선이 평행 | 평행선 |
| 무수히 많은 해 (부정) | D = 0, 비율 일치 | 두 직선이 일치 | 동일 직선 |
크래머 공식이란?
행렬식을 이용해 연립방정식을 직접 푸는 공식입니다. n개의 미지수에 대한 n개의 방정식 체계에 적용할 수 있으며, 행렬식이 0이 아닐 때만 유일한 해가 존재합니다. 중학교·고등학교 수학에서 연립방정식 풀이의 핵심 도구입니다.
자주 묻는 질문
연립방정식에서 해가 없는 경우는 어떤 경우인가요?
행렬식 D = a₁b₂ - a₂b₁ = 0이면서 계수 비율과 상수항 비율이 다를 때 해가 없습니다(불능). 예: x + 2y = 3, x + 2y = 5는 두 직선이 완전히 평행하여 교점이 없습니다.
크래머 공식이란 무엇인가요?
행렬식을 이용해 연립방정식의 해를 직접 구하는 공식입니다. 2×2 연립방정식에서 x = (c₁b₂ - c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ - a₂c₁)/D로 계산합니다. D = a₁b₂ - a₂b₁이 0이면 유일한 해가 없습니다.
일원 일차방정식 ax + b = c에서 a = 0이면 어떻게 되나요?
a = 0이면 방정식이 '0 = c - b' 형태가 됩니다. c = b이면 x가 어떤 값이든 성립하는 항등식(무수히 많은 해), c ≠ b이면 어떤 x도 성립하지 않는 불능(해 없음)이 됩니다.
연립방정식의 무수히 많은 해(부정)는 어떤 상황인가요?
두 방정식이 사실상 같은 직선을 나타낼 때 발생합니다. 예: 2x + 4y = 6과 x + 2y = 3은 두 번째 방정식을 2배 하면 동일합니다. 이 경우 D = 0이면서 a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ 비율이 모두 같습니다.
분수 계수(예: x/2 + y/3 = 1)는 어떻게 입력하나요?
소수로 변환하여 입력하세요. x/2 = 0.5x이므로 a₁ = 0.5, b₁ = 0.333...이면 소수 0.333으로 입력합니다. 또는 양변에 최소공배수를 곱해 정수 계수로 변환 후 입력하는 것이 더 정확합니다.