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계산 공식
det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ (2×2 행렬의 행렬식)대각선 원소의 곱 차이로 2×2 행렬의 행렬식을 계산합니다.
2×2 행렬 연산 공식 요약
| 연산 | 공식 | 조건 |
|---|---|---|
| 덧셈 A+B | C[i,j] = A[i,j] + B[i,j] | 같은 크기 행렬 |
| 뺄셈 A-B | C[i,j] = A[i,j] - B[i,j] | 같은 크기 행렬 |
| 곱셈 A×B | C[i,j] = Σ A[i,k]×B[k,j] | A의 열 수 = B의 행 수 |
| 행렬식 det(A) | a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ | 정방 행렬 |
| 전치 Aᵀ | Aᵀ[i,j] = A[j,i] | 모든 행렬 |
2×2 행렬 곱셈 계산 방법
행렬 A = [1,2; 3,4], B = [5,6; 7,8]일 때 A×B:
- C[1,1] = 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19
- C[1,2] = 1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22
- C[2,1] = 3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43
- C[2,2] = 3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50
행렬식(Determinant) 의미와 계산
det(A) = a₁₁ × a₂₂ - a₁₂ × a₂₁
| 행렬식 값 | 의미 |
|---|---|
| det ≠ 0 | 역행렬 존재, 연립방정식 유일한 해 |
| det = 0 | 역행렬 없음(특이 행렬), 해 없거나 무한히 많음 |
| det > 0 | 변환 시 방향 유지 (시계 반대 방향 보존) |
| det < 0 | 변환 시 방향 반전 |
| det | 변환 후 면적 비율 (det=2이면 2배 확대) |
역행렬 공식 (det ≠ 0일 때)
A⁻¹ = (1/det) × [a₂₂, -a₁₂; -a₂₁, a₁₁]
예: A = [2,3; 1,4], det = 5 A⁻¹ = (1/5) × [4,-3; -1,2] = [0.8,-0.6; -0.2,0.4]
검증: A × A⁻¹ = 단위행렬 [1,0; 0,1]
전치 행렬 특성
| 성질 | 공식 |
|---|---|
| 이중 전치 | (Aᵀ)ᵀ = A |
| 합의 전치 | (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ |
| 곱의 전치 | (AB)ᵀ = BᵀAᵀ (순서 역전!) |
| 대칭 행렬 | A = Aᵀ인 행렬 |
행렬의 실생활 활용
| 분야 | 사용 예 |
|---|---|
| 컴퓨터 그래픽 | 회전·크기변환·이동 변환 행렬 |
| 선형 연립방정식 | [A]{x} = {b} 형태로 동시 풀기 |
| 구글 페이지랭크 | 웹 링크 구조를 행렬로 표현 |
| 머신러닝 | 가중치 행렬(weight matrix) 학습 |
| 경제학 | 레온티에프 투입-산출 모형 |
자주 묻는 질문
행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하나요?
아닙니다. 일반적으로 A×B ≠ B×A입니다. 예: A=[1,2;0,1], B=[1,0;1,1]일 때 AB=[3,2;1,1]이고 BA=[1,2;1,3]으로 다릅니다. 덧셈은 교환법칙이 성립하지만 곱셈은 결합법칙만 성립합니다.
행렬식이 0이면 어떤 의미인가요?
행렬식 = 0인 '특이 행렬(singular matrix)'은 역행렬이 존재하지 않습니다. 기하학적으로 변환 후 면적이 0이 됨(점이나 선분으로 압축)을 의미합니다. 연립방정식에서 유일한 해가 없음(해 없거나 무한히 많음)을 나타냅니다.
행렬 덧셈과 곱셈의 차이는 무엇인가요?
덧셈은 같은 위치 원소끼리 더합니다(C[i,j] = A[i,j]+B[i,j]). 곱셈은 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 내적을 계산합니다(C[i,j] = Σ A[i,k]×B[k,j]). 덧셈은 같은 크기 행렬에만 가능하고, 곱셈은 A의 열 수 = B의 행 수일 때만 가능합니다.
역행렬은 어떻게 계산하나요?
2×2 행렬 A = [a,b;c,d]의 역행렬: A⁻¹ = (1/det(A)) × [d,-b;-c,a]. det(A) = ad-bc ≠ 0이어야 합니다. 검증: A×A⁻¹ = 단위행렬 I = [1,0;0,1]이 되어야 합니다.