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ax² + bx + c = 0
계산 공식
x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)판별식 D=b²-4ac의 부호로 근의 종류를 먼저 판별한 후 근의 공식으로 해를 구합니다.
이차방정식 근의 공식
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해(근)을 구하는 공식:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
판별식(D = b² - 4ac)으로 근의 종류 판별
| D 값 | 근의 종류 | 그래프 특성 |
|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | x축과 두 점에서 교차 |
| D = 0 | 중근 (두 근이 같음) | x축과 한 점에서 접함 |
| D < 0 | 허근 (실수 범위에서 해 없음) | x축과 만나지 않음 |
계수별 근의 공식 계산 예시
| a | b | c | D = b²-4ac | 근 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -5 | 6 | 25-24=1 | x=3, x=2 (두 실근) |
| 1 | -4 | 4 | 16-16=0 | x=2 (중근) |
| 1 | 2 | 5 | 4-20=-16 | x=-1±2i (허근) |
| 2 | -7 | 3 | 49-24=25 | x=3, x=0.5 |
| 1 | 0 | -9 | 0+36=36 | x=3, x=-3 |
인수분해로 빠르게 풀기
판별식 D가 완전제곱수일 때 인수분해가 가능합니다.
- x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x=2 or x=3
- x² - 4 = 0 → (x-2)(x+2) = 0 → x=±2
- 2x² + 5x + 2 = 0 → (2x+1)(x+2) = 0 → x=-1/2 or x=-2
근과 계수의 관계 (비에타 공식)
두 근 α, β에 대해:
- 두 근의 합: α + β = -b/a
- 두 근의 곱: α × β = c/a
자주 묻는 질문
허근이란 무엇인가요?
판별식 D = b²-4ac < 0이면 실수 범위에서 해가 없고, 복소수 범위에서 허수 단위 i(√-1)를 포함한 허근이 나옵니다. 예: x² + 2x + 5 = 0의 D = 4-20 = -16 < 0 → x = -1 ± 2i. 그래프에서 포물선이 x축과 만나지 않습니다.
a=0이면 어떻게 되나요?
a=0이면 이차방정식이 아닌 일차방정식(bx+c=0)이 됩니다. 이차항이 없으므로 반드시 a≠0인 값을 입력해야 합니다.
이차방정식을 인수분해로 빠르게 푸는 방법은?
판별식 D = b²-4ac가 완전제곱수이면 인수분해가 가능합니다. x²-5x+6=0 → 합이 -5, 곱이 6인 두 수(-2, -3) → (x-2)(x-3)=0 → x=2,3. 인수분해가 어려우면 근의 공식 x=(-b±√D)/2a를 사용하세요.
중근(중복근)은 언제 나오나요?
판별식 D = 0일 때 두 근이 같아지는 경우를 중근(이중근)이라 합니다. 예: x²-4x+4=0 → D=16-16=0 → x=2 (중근). 그래프에서 포물선이 x축에 딱 한 점에서 접합니다.
근과 계수의 관계(비에타 공식)란?
ax²+bx+c=0의 두 근 α, β에 대해 α+β = -b/a, αβ = c/a. 예: x²-5x+6=0 → 두 근의 합 = 5, 곱 = 6. 실제 두 근 2,3 → 합=5 ✓, 곱=6 ✓. 근을 직접 구하지 않아도 합과 곱을 즉시 알 수 있습니다.