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양수를 입력하세요
계산 공식
log_b(x) = ln(x) / ln(b)밑 변환 공식을 이용해 임의 밑 로그도 자연로그로 계산합니다.
로그 3종류 — 핵심 비교
| 이름 | 표기 | 밑 | 주요 용도 |
|---|---|---|---|
| 상용로그 | log x (log₁₀) | 10 | 지진 규모(리히터), pH, dB, 공학 계산 |
| 자연로그 | ln x | e ≈ 2.71828 | 복리 계산, 인구 증가, 방사성 붕괴, 미적분 |
| 이진로그 | log₂ x | 2 | 비트/바이트 계산, 알고리즘 복잡도, 정보이론 |
주요 로그 공식 (연산 법칙)
| 공식 | 예시 |
|---|---|
| log(ab) = log a + log b | log(6) = log(2) + log(3) |
| log(a/b) = log a - log b | log(5) = log(10) - log(2) |
| log(aⁿ) = n·log a | log(1000) = 3·log(10) = 3 |
| 밑 변환: log_b(x) = ln(x)/ln(b) | log₂(8) = ln(8)/ln(2) = 3 |
| log_b(b) = 1 | log₁₀(10) = 1, ln(e) = 1 |
| log_b(1) = 0 | log₁₀(1) = 0, log₂(1) = 0 |
자주 쓰는 상용로그 값
| x | log₁₀(x) | 계산 |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 10⁰ = 1 |
| 2 | 0.3010 | 10^0.3010 ≈ 2 |
| 3 | 0.4771 | 10^0.4771 ≈ 3 |
| 5 | 0.6990 | 10^0.6990 ≈ 5 |
| 10 | 1.0000 | 10¹ = 10 |
| 100 | 2.0000 | 10² = 100 |
| 1000 | 3.0000 | 10³ = 1,000 |
| 0.1 | -1.0000 | 10⁻¹ = 0.1 |
실생활 로그 적용 사례
지진 규모 (리히터 스케일)
M = log₁₀(A/A₀) — 진폭의 상용로그- 규모 6.0은 규모 5.0보다 진폭이 10배, 에너지는 약 31.6배 강함
- 규모 7.0 vs 5.0: 진폭 100배 차이
pH (수소이온 농도)
pH = -log₁₀[H⁺]- 순수한 물: pH 7 → [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L
- 콜라: pH 약 2.5 → [H⁺] = 10⁻²·⁵ mol/L (순수 물보다 약 31,600배 산성)
- pH 1 차이 = 수소이온 농도 10배 차이
데시벨 (dB)
dB = 10·log₁₀(P₂/P₁) (전력 비교) dB = 20·log₁₀(A₂/A₁) (진폭 비교)| 소리 | dB | 상대 크기 |
|---|---|---|
| 속삭임 | 30 dB | 기준의 1,000배 |
| 대화 | 60 dB | 기준의 1,000,000배 |
| 비행기 이륙 | 120 dB | 기준의 10¹² 배 |
이진로그와 정보이론
- 1비트 = 2가지 상태 → log₂(2) = 1
- 64비트 = log₂(2⁶⁴) = 64 가지 경우 구분
- 1024(2¹⁰) = log₂(1024) = 10 비트
자연상수 e와 자연로그
e = 2.718281828... (무리수)
- ln(e) = 1, ln(e²) = 2, ln(1) = 0
- 연속 복리 공식: A = Pe^(rt) (원금 P, 연이율 r, 기간 t년)
- 100만원을 연 5% 연속 복리로 10년: A = 1,000,000 × e^(0.05×10) = 1,648,721원
자주 묻는 질문
자연로그 e는 어떤 수인가요?
e = 2.71828182845...으로 수학에서 자연상수라고 합니다. 연속 복리 A = Pe^(rt), 인구 성장 N = N₀e^(kt), 방사성 붕괴 N = N₀e^(-λt) 등 자연 현상과 금융 계산에서 핵심적으로 등장하는 수입니다.
log(0)은 왜 정의되지 않나요?
log_b(0) = x라면 b^x = 0이 되어야 하는데, b가 양수이면 b의 어떤 거듭제곱도 0이 될 수 없습니다. x → -∞일 때 b^x → 0으로 수렴하지만 0에 도달하지 못하므로 정의되지 않습니다.
상용로그와 자연로그의 관계는 무엇인가요?
밑 변환 공식으로 서로 변환 가능합니다. log₁₀(x) = ln(x) / ln(10) = ln(x) / 2.302585. 반대로 ln(x) = log₁₀(x) × 2.302585입니다. 예: log₁₀(100) = ln(100) / ln(10) = 4.60517 / 2.30259 = 2.0
지진 규모 8.0은 7.0보다 얼마나 강한가요?
리히터 규모는 상용로그 스케일이므로 규모 1 증가 = 진폭 10배 차이입니다. 에너지는 약 31.6배(10^1.5배) 차이입니다. 규모 8.0은 7.0보다 진폭 10배, 에너지 약 31.6배 더 강합니다.
이진로그(log₂)는 어디에 사용되나요?
컴퓨터 과학에서 핵심적으로 사용됩니다. 이진 검색 알고리즘의 시간 복잡도 O(log₂n), 정보이론에서 비트 수 계산(n가지 경우 구분에 필요한 비트 = log₂n), 오디오 샘플링 해상도(16비트 = 65,536가지 레벨) 등입니다.